Question

甲、乙兩容器中分別盛有濃度為10%，20%的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中各取出100ml溶液，將其倒入對方的容器攪勻，這稱為一次調(diào)和．記a₁=10%，b₁=20%，經(jīng)n-1（n≥2）次調(diào)和后甲、乙兩個容器的溶液濃度為a_n，b_n
（Ⅰ）試用a_n-1，b_n-1表示a_n，b_n；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n-b_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+b_n}是常數(shù)列．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：應用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意，經(jīng)n-1（n≥2，n∈N^*）次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為a_n，b_n，從而可用a_n-1，b_n-1表示a_n，b_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，化簡可得結(jié)論

解答： （Ⅰ）解：由題意，經(jīng)n-1（n≥2，n∈N^*）次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為a_n，b_n，
∴a_n=

400an-1+100bn-1

500

=

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1，
b_n=

400bn-1+100an-1

500

=

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1；
（Ⅱ）證明：由（1）知，b_n-a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）-（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=

3

5

（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知數(shù)列{b_n-a_n}為首項是b₁-a₁=10%，公比為

3

5

的等比數(shù)列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）（

3

5

）^n-1=10%•（

3

5

）^n-1=

1

10

•（

3

5

）^n-1；
b_n+a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）+（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=b_n-1+a_n-1，
∴數(shù)列{a_n+b_n}是常數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．