Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）已知f（t）+f（t-1）＜0，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)可得f（0）=0可求b，由f(

1

2

)=

2

5

可求a，進(jìn)而可求f（x）；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：設(shè)自變量，作差，變形，定符號，下結(jié)論．
（3）由奇函數(shù)的定義，得到f（t）＜f（1-t），再由函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式組，解出即可．

解答： （1）解：∵f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即有b=0，
又f(

1

2

)=

2

5

，則

1 2 a+b

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1．
∴a=1，b=0．
（2）證明：由于f（x）=

x

1+x2

，
可設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（x₁²+1）（x₂²+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解：∵f（t）+f（t-1）＜0，
∴f（t）＜-f（t-1）
∵f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（t）＜f（1-t），
∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
∴-1＜t＜1，且-1＜1-t＜1，且t＜1-t，
∴-1＜t＜1且0＜t＜2且t＜

1

2

，
∴0＜t＜

1

2

．
則t的取值范圍是（0，

1

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0的應(yīng)用，利用該條件可以簡化基本運(yùn)算，函數(shù)單調(diào)性的定義的證明及應(yīng)用，屬于中檔題．