Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若  為定值．

 

Answer 1

【答案】

解：（I）設(shè)橢圓C的方程為，

因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)坐標(biāo)是  所以由題意知b = 1．

又有        

∴橢圓C的方程為      …………………………………………4分

（II）方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

易知右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

   ……6分

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得

去分母整理得     ………………………………………9分

   …………12分

方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是

將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得

           ………………………………8分

又

……………………12分

【解析】略