Question

已知圓C與x軸相切，圓心C在射線3x-y=0（x＞0）上，直線x-y=0被圓C截得的弦長為2

7

（1）求圓C標準方程；
（2）若點Q在直線l₁：x+y+1=0上，經過點Q直線l₂與圓C相切于p點，求|QP|的最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設圓心坐標為 （a，3a），且a＞0，求出圓心（a，3a）到直線x-y=0的距離，利用勾股定理，求出圓心與半徑，即可求圓C標準方程；
（2）在Rt△QPC中，|QP|=

(|QC|)2-9

，所以，當|QC|最小時，|QP|有最小值．

解答： 解：（1）因為圓心C在射線3x-y=0（x＞0）上，
設圓心坐標為 （a，3a），且a＞0，
圓心（a，3a）到直線x-y=0的距離為d=

|-2a|

2

=

2

a
又圓C與x軸相切，所以半徑r=3a
設弦AB的中點為M，則|AM|=

7

在RtAMC中，得(

2

a)2+(

7

)2=(3a)2
解得a=1，r²=9
故所求的圓的方程是（x-1）²+（y-3）²=9   …（6分）
（2）如圖，在Rt△QPC中，|QP|=

(|QC|)2-9

，
所以，當|QC|最小時，|QP|有最小值；
所以QC⊥l₁于Q點時，|QC|_min=

|1+3+1|

2

=

5 2

2

所以，|QP|_min=

14

2

  …..（12分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．