Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求點P的坐標；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且點O在以AB為直徑的圓的外部（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．設P（x，y），（x＞0，y＞0），則

PF1

•

PF2

=x2+y2-3=-

5

4

，聯(lián)立

x2+y2= 7 4 x2 4 +y2=1

，能求出P（1，

3

2

）．
（Ⅱ）設l的方程為y=kx+2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx+2

，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點，
∴a=2，b=1，c=

3

．
∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．設P（x，y），（x＞0，y＞0）．
則

PF1

•

PF2

=（-

3

-x，-y）•（

3

-x，-y）=x2+y2-3=-

5

4

，
又

x2

4

+y2=1，
聯(lián)立

x2+y2= 7 4 x2 4 +y2=1

，
解得

x2=1 y2= 3 2

，∴x=1，y=

3

2

，∴P（1，

3

2

）．…（5分）
（Ⅱ）由題意知x=0不滿足題設條件．
∴設l的方程為y=kx+2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx+2

，得x²+4（kx+2）²=4，
整理，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∴x1x2=

12

1+4k2

，x1+x2=-

16k

1+4k2

，
由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞0，
16k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得k2＞

3

4

．①
又∠AOB為銳角，∴cos∠AOB＞0，∴

OA

•

OB

＞0，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x1 x2+2k（x₁+x₂）+4
=（1+k²）•

12

1+4k2

+2k•(-

16k

1+4k2

)+4
=

12(1+k2)

1+4k2

-

2k•16k

1+4k2

+4
=

4(4-k2)

1+4k2

＞0，
∴-

1

4

＜k2＜4．②
綜①②可知

3

4

＜k2＜4，
∴k的取值范圍是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）．…（13分）

點評：本題考查點的坐標的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和函數(shù)與方程思想的合理運用．