Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若

m

=（b，2c-a），

n

=（1，2cosA）且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

sin2xcosB+cos²xsinB+

1

2

cos（

π

2

+B），求函數(shù)f（x）在[0，

π

4

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得2bcosA=2c-a，由余弦定理可得cosB，可得B值；（Ⅱ）把（Ⅰ）的B值代入可化簡(jiǎn)f（x），由x的取值范圍可得所求．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（b，2c-a），

n

=（1，2cosA）且

m

∥

n

，
∴2bcosA=2c-a，由余弦定理可得2b•

b2+c2-a2

2bc

=2c-a，
整理可得ac=a²+c²-b²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
結(jié)合0＜B＜π，可得B=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=

1

2

sin2xcosB+cos²xsinB+

1

2

cos（

π

2

+B）
=

1

4

sin2x+

3

2

•

1+cos2x

2

-

3

4

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

1

2

sin（2x+

π

3

）
∵0≤x≤

π

4

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴

1

4

≤

1

2

sin（2x+

π

3

）≤

1

2

∴函數(shù)f（x）在[0，

π

4

]上的取值范圍為[

1

4

，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角函數(shù)的公式解解三角形，屬中檔題．