Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若關(guān)于x的方程

1

f(x)-4

=a的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡函數(shù)的解析式為函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|=

3x+1，x≥1 x+3，-1＜x＜1 -3x-1，x≤-1

，分類討論求得原不等式解集．
（2）由（1）中分段函數(shù)f（x）的解析式可得f（x）的單調(diào)性，由此求得函數(shù)f（x）的值域，可得

1

f(x)-4

的取值范圍．再根據(jù)關(guān)于x的方程

1

f(x)-4

=a的解集為空集，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|=

3x+1，x≥1 x+3，-1＜x＜1 -3x-1，x≤-1

，
當(dāng)x≥1時(shí)，由3x+5＞5解得：x＞

4

3

；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，由x+3＞5得x＞2 （舍去）．
當(dāng)x＜-1時(shí)，由-3x-1＞5，解得x＜-2．
所以原不等式解集為{x|x＜-2 x＞

4

3

}．
（2）由（1）中分段函數(shù)f（x）的解析式可知：f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
并且f（x）的最小值為f（-1）=2，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2，+∞），
從而f（x）-4的取值范圍是[-2，+∞），
進(jìn)而

1

f(x)-4

的取值范圍是（-∞，-

1

2

]∪（0，+∞）．
根據(jù)已知關(guān)于x的方程

1

f(x)-4

=a的解集為空集，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-

1

2

，0]．

點(diǎn)評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．