Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函數y=-x+12的圖象上
（Ⅰ）寫出S_n關于n的函數表達式
（Ⅱ）求證：數列{a_n}的通項公式并證明它是等差數列．

Answer 1

考點：數列遞推式,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據點在直線上的關系即可寫出S_n關于n的函數表達式
（Ⅱ）求出數列{a_n}的通項公式，結合等差數列的定義即可證明數列{a_n}是等差數列．

解答： 解：（Ⅰ）∵點（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函數y=-x+12的圖象上，
∴

Sn

n

=-n+12，
則S_n=n²+12n，
即S_n關于n的函數表達式為S_n=n²+12n．
（Ⅱ）∵S_n=n²+12n，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+12n-[（n-1）²+12（n-1）]=2n+11，
當n=1時，a₁=S₁=1+12=13，滿足a_n=2n+11，
則數列{a_n}的通項公式為a_n=2n+11，
則當n≥2時，a_n-a_n-1=2n+11-2（n-1）-11=2，
則數列{a_n}是等差數列．

點評：本題主要考查數列的通項公式以及等差數列的判斷，根據數列a_n=S_n-S_n-1（n≥2）的關系是解決本題的關鍵．