Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝ ，且橢圓C上的點到Q(0,2)的距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)在橢圓C上，是否存在點M(m，n)，使得直線l：mx＋ny＝1與圓O：x²＋y²＝1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

　(1)因為e＝ ＝＝，

所以a²＝3b²，即橢圓C的方程可寫為＋＝1.            (2分)

設(shè)P(x，y)為橢圓C上任意給定的一點，

則d＝＝ (－b≤y≤b)．                         (3分)

當(dāng)－b≤－1，即b≥1，d_max＝＝3得b＝1；

當(dāng)－b>－1，即b<1，d_max＝＝3得b＝1(舍)．

∴b＝1，a＝，                                                (5分)

故所求橢圓C的方程為＋y²＝1.                             (6分)

(2)存在點M滿足要求，使△OAB的面積最大．                  (7分)

假設(shè)存在滿足條件的點M，因為直線l：mx＋ny＝1與

圓O：x²＋y²＝1相交于不同的兩點A，B，

則圓心O到l的距離d＝<1.                            (8分)

因為點M(m，n)在橢圓C上，所以＋n²＝1<m²＋n²，

于是0<m²≤3.

因為|AB|＝2＝2 ，                         (10分)

所以S_△OAB＝·|AB|·d＝

＝＝，

當(dāng)且僅當(dāng)1＝m²時等號成立，所以m²＝∈(0,3]．

因此當(dāng)m＝±，n＝±時等號成立．                     (12分)

所以滿足要求的點M的坐標(biāo)為

此時對應(yīng)的三角形的面積均達(dá)到最大值.