Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時，S為四邊形；
②當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時，S為六邊形；
③當(dāng)CQ=

3

4

時，S與C₁D₁的交點R滿足C₁R=

1

3

；
④當(dāng)CQ=

1

2

時，S為等腰梯形；⑤當(dāng)CQ=1時，S的面積為

6

2

．

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：易知，過點A，P，Q的平面必與面ADA₁，BC₁C相交，且交線平行，據(jù)此，當(dāng)Q為C₁C中點時，
截面與面ADD₁交與AD₁，為等腰梯形，據(jù)此可以對①進(jìn)行判斷；
當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時，只需點Q上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，
連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，根據(jù)圖形可判斷③正確
截面為APC₁F為菱形，故其面積為

1

2

AC1

•

PF

=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，可判斷④

解答： 解：連接AP并延長交DC于M，再連接MQ，
對于①，當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時，MQ的延長線交線段D₁D與點N，且N在D₁與D之間，連接AN，則截面為四邊形APQN；
特別的當(dāng)Q為中點即CQ=

1

2

時，N點與D₁重合，此時截面四邊形APQN為等腰梯形，故①對，
當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時，只需點Q上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故②錯誤；
③當(dāng)CQ=

1

3

時，如圖，
延長DD₁至N，使D₁N=

1

2

，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=

1

3

，故③正確；
當(dāng)CQ=1時，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點F，連接AF，可證PC₁∥AF，
且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，故其面積為

1

2

AC1

•

PF

=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，故④正確．
故答案為：①③④

點評：此題考查了截面的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用面面平行、面面相交的性質(zhì)確定截面的頂點．