Question

2．設(shè)奇函數(shù)f（x）是定義域在R上的減函數(shù)，且不等式f（x²-a）+f（2x-1）＜0對(duì)于任意x∈[1，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2）．

Answer 1

分析 由奇函數(shù)的定義可得f（x²-a）＜f（1-2x），由f（x）為定義在R上的減函數(shù)，即有x²-a＞1-2x，對(duì)任意x∈[1，3]恒成立，即為a＜x²-1+2x對(duì)任意x∈[1，3]恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：不等式f（x²-a）+f（2x-1）＜0，
即為f（x²-a）＜-f（2x-1），
由奇函數(shù)f（x），可得f（1-2x）=-f（2x-1），
即有f（x²-a）＜f（1-2x），
由f（x）為定義在R上的減函數(shù)，
即有x²-a＞1-2x，對(duì)任意x∈[1，3]恒成立，
即為a＜x²-1+2x對(duì)任意x∈[1，3]恒成立，
由x²+2x-1=（x+1）²-2在[1，3]上遞增，
當(dāng)x=1時(shí)取得最小值2，
即有a＜2．
故答案為：（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查不等式恒成立思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．