已知f(x)=log2
1-x
1+x
 (-1<x<1).
(1)若f(a)+f(b)=0,求證:a+b=0;
(2)設(shè)f(
1
2
)+f(
1
3
)=f(x0)
,求x0的值;
(3)設(shè)x1、x2∈(-1,1),是否存在x3∈(-1,1),使得f(x1)+f(x2)=f(x3),若存在,求出x3,并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)通過(guò)f(a)+f(b)=0,化簡(jiǎn)即可得到a+b=0;
(2)通過(guò)化簡(jiǎn)方程,f(
1
2
)+f(
1
3
)=f(x0)
,即可直接求出x0的值;
(3)通過(guò)f(x1)+f(x2)=f(x3),直接求出x3,然后利用分析法證明結(jié)論.
解答:解:(1)證明:由f(a)+f(b)=0得lg
1-a
1+a
+lg
1-b
1+b
=0
,lg(
1-a
1+a
1-b
1+b
)=0

1-a
1+a
1-b
1+b
=1
,∴(1-a)(1-b)=(1+a)(1+b),化簡(jiǎn)得a+b=0.…(4分)
(2)解:f(
1
2
)=lg
1-
1
2
1+
1
2
=lg
1
3
,f(
1
3
)=lg
1-
1
3
1+
1
3
=lg
1
2
f(x0)=lg
1-x0
1+x0
,f(
1
2
)+f(
1
3
)=lg
1
6

f(
1
2
)+f(
1
3
)=f(x0)
lg
1-x0
1+x0
=lg
1
6
,解得x0=
5
7
.…(8分)
(3)解:假設(shè)存在x3∈(-1,1)使得f(x1)+f(x2)=f(x3),…(9分)
f(x1)=lg
1-x1
1+x1
f(x2)=lg
1-x2
1+x2
,
lg(
1-x1
1+x1
1-x2
1+x2
)=lg
1-x3
1+x3
,解得x3=
x1+x2
1+x1x2
,…(12分)
下證-1<
x1+x2
1+x1x2
<1

先用分析法證明
x1+x2
1+x1x2
<1
,∵x1、x2∈(-1,1),∴1+x1x2>0.
要證明
x1+x2
1+x1x2
<1
,即要證x1+x2<1+x1x2,即要證(1-x1)(1-x2)>0,
∵x1、x2∈(-1,1),∴1+x1>0,1+x2>0,(1-x1)(1-x2)>0,
同理可證-1<
x1+x2
1+x1x2
,…(15分)
所以存在x3=
x1+x2
1+x1x2
∈(-1,1)
,使得f(x1)+f(x2)=f(x3).…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,分析法證明問(wèn)題的方法,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
log
(4x+1)
4
+kx是偶函數(shù),其中x∈R,且k為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)記g(x)=4f(x)求x∈[0,2]時(shí),函數(shù)個(gè)g(x)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=3x,那么f(log
 
4
1
2
)的值為
-9
-9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)有f(x)=log 
110
x

(1)求f(x)的解析式;  
(2)解不等式f(x)≤2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log 
1
4
x,那么f(-
1
2
)的值是( 。
A、
1
2
B、-
1
2
C、2
D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=
log(4x+1)4
+kx是偶函數(shù),其中x∈R,且k為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)記g(x)=4f(x)求x∈[0,2]時(shí),函數(shù)個(gè)g(x)的最大值.

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