Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，PD=CD，E為PC的中點(diǎn)．
（I）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）求二面角P-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （I）推導(dǎo)出PD⊥底面ABCD，從而PD⊥AC，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，從而AC⊥平面PBD，由此能證明AC⊥PB．
（II）推導(dǎo)出PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-BD-E的余弦值．

解答 證明：（I）因?yàn)槠矫鍼CD⊥底面ABCD，PD垂直于這兩個(gè)平面的交線CD，
所以PD⊥底面ABCD…（2分）
又AC?底面ABCD，所以PD⊥AC…（3分）
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC⊥BD，
又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，…（5分）
因?yàn)镻B?平面PBD，所以，AC⊥PB．…（6分）
（II）解：由（I）可知PD⊥AD，
由題可知PD⊥CD，AD⊥CD．
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
設(shè)DC=1，依題意得A（1，0，0），
C（0，1，0），P（0，0，1）
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1，0）…（8分）
因?yàn)椋珽為PC的中點(diǎn)，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為$（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$.$\overrightarrow{BE}=（-1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\-x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，
令z=1，得x=1，y=-1．
所以，$\overrightarrow n=（1，-1，1）$…（10分）
又平面PBD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{CA}=（1，-1，0）$…（12分）
所以，$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{CA}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{CA}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{CA}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
由題知二面角P-BD-E為銳角，
所以二面角P-BD-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．