Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，E，F(xiàn)分別是BB₁，CD的中點(diǎn)，（如圖建立空間直角坐標(biāo)系）
（1）求證：D₁F⊥平面ADE；
（2）求異面直線(xiàn)EF和CB₁所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定,異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）依題意分別求得A，E，D₁和F的坐標(biāo)取得）

AE

和

D1F

，二者相乘等于0即可證明出AE⊥D₁F進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證明出D₁F⊥AD，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明出D₁F⊥平面ADE．
（2）分別求得

EF

和

CB1

，利用向量的夾角公式求得異面直線(xiàn)所成的角．

解答： （1）證明：依題意知D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），

AE

=（0，0，1），

D1F

=（0，1，-2），∴

AE

•

D1F

=0，
∴AE⊥D₁F；
∵AD⊥平面CDD₁C₁，D₁F?平面CDD₁C₁，
∴D₁F⊥AD，
∵AE?平面ADE，AD?平面ADE，AE∩AD=A，
∴D₁F⊥平面ADE．
（2）解：依題意可知B₁（1，1，1），C（0，1，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），
∴

EF

=（2，1，1），

CB1

=（1，0，1），
∴cos＜

EF

，

CB1

）=

EF • CB1

| EF |•| CB1|

=

2+0+1

4+1+1 • 1+0+1

=

3

2

，
∴異面直線(xiàn)EF和CB₁所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面垂直和空間向量的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析和運(yùn)算能力．