Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=（ax-1）（x-1）．
（1）若不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜2}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a＞0時，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）由已知得到對應(yīng)方程的根為1，2，代入對應(yīng)方程求得a；
（2）當(dāng)a＞0時，不等式f（x）＜0等價于（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，針對$\frac{1}{a}$與1的關(guān)系討論根的大小，得到不等式的解集．

解答 解：（1）依題意知a＞0且1和2為方程（ax-1）（x-1）=0的兩根，∴$\frac{1}{a}=2$，∴$a=\frac{1}{2}$
（2）不等式f（x）＜0可化為（ax-1）（x-1）＜0．，
當(dāng)a＞0時，不等式f（x）＜0等價于（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，
①當(dāng)0＜a＜1時，$\frac{1}{a}$＞1，
不等式（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，的解集為{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}，
即原不等式的解集為{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}，
②當(dāng)a=1時，不等式（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，的解集為∅，
即原不等式的解集為∅，
③當(dāng)a＞1時，不等式（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0的解集為{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}，
即原不等式的解集為{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系以及討論求一元二次不等式的解集；注意討論的要不重不漏．