Question

14．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=2，AA₁=3，點(diǎn)D是B₁C₁的中點(diǎn)，則AD與平面ABC所成的角為（　�。�

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接ED，EA．由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得：AE⊥BC，四邊形DECC₁是平行四邊形，可得DE⊥平面ABC，∠DAE是AD與平面ABC所成的角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，
取BC的中點(diǎn)E，連接ED，EA．
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得：AE⊥BC，四邊形DECC₁是平行四邊形．
∴DE∥CC₁，
又CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
∴∠DAE是AD與平面ABC所成的角．
∵等邊三角形ABC中，AB=2，則AE=$\sqrt{3}$．
∴∠DAE是AD與平面ABC所成的角．
在RT△ADE中，tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴∠DAE=60°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正三棱柱的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、空間角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．