Question

【題目】春節(jié)期間,由于高速公路繼續(xù)實(shí)行小型車免費(fèi),因此高速公路上車輛較多,某調(diào)查公司在某城市從七座以下小型汽車中按進(jìn)入服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后得到如圖的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）此調(diào)查公司在采樣中,用到的是什么抽樣方法？

（Ⅱ）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的估計(jì)值;

（Ⅲ）若從車速在[60,70)的車輛中任抽取2輛,求至少有一輛車的車速在[65,70)的概率.

Answer 1

【答案】（I）系統(tǒng)抽樣；（II）眾數(shù),中位數(shù)；（III）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)抽樣方法特征可知是系統(tǒng)抽樣。（2）由頻率分布直方圖，最高點(diǎn)中點(diǎn)為眾數(shù)，面積一半的分界點(diǎn)為中位數(shù)，由平均數(shù)公式可算得平均數(shù)。（3）從圖中可知,車速在[60,65)的車輛數(shù)為 2(輛)，車速在[65,70)的車輛數(shù)為 4(輛)，可用枚舉法及古典概型求得概率。

試題解析：

（Ⅰ）由題意知這個抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣。

故調(diào)查公司在采樣中,用到的是系統(tǒng)抽樣,(2分)

（Ⅱ）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn),即眾數(shù)的估計(jì)值等于77.5(4分)

設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，則中位數(shù)的估計(jì)值為：

0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×()=0.5，

解得=77.5,即中位數(shù)的估計(jì)值為77.5(6分)

（Ⅲ）從圖中可知,車速在[60,65)的車輛數(shù)為： =0.01×5×40=2(輛),(7分)

車速在[65,70)的車輛數(shù)為： =0.02×5×40=4(輛)(8分)

設(shè)車速在[60,65)的車輛設(shè)為a,b,車速在[65,70)的車輛設(shè)為c，d，e，f，

則所有基本事件有：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15種(10分)

其中車速在[65,70)的車輛至少有一輛的事件有：(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共14種(12分)

所以,車速在[65,70)的車輛至少有一輛的概率為.(13分)