Question

19．空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5（單位：μg/m³）表示每立方米空氣中可如肺顆粒物的含量，這個(gè)值越高，代表空氣污染越嚴(yán)重：

PM2.5日均濃度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空氣質(zhì)量級別	一級	二級	三級	四級	五級	六級
空氣質(zhì)量類別	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴(yán)重污染

甲市2015年2月份中有15對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行監(jiān)測，獲得PM2.5日均濃度數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示．
（Ⅰ）在15天內(nèi)任取2天，求甲市空氣質(zhì)量類別均為良的概率；
（Ⅱ）在15天內(nèi)任取2天，記甲市空氣質(zhì)量級別不超過三級的天數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）由莖葉圖可知：甲市在15天內(nèi)有4天的空氣質(zhì)量類別為良，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出甲市空氣質(zhì)量類別均為良的概率；
（Ⅱ）利用超幾何分布即可得到分布列，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖知，甲市在15天內(nèi)有4天的空氣質(zhì)量類別為良，所以P=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{2}{35}$；
（Ⅱ）由莖葉圖知，甲市在15天內(nèi)有12天的空氣質(zhì)量級別不超過三級，X的可能取值為0，1，2，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{1}{35}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{12}{35}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{22}{35}$．
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{22}{35}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=1×$\frac{12}{35}$+2×$\frac{22}{35}$=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評 正確理解莖葉圖、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、超幾何分布、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式、排列與組合的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．