Question

9．已知f₁（x）=|x-1|，f_n+1（x）=|（n+1）f_n（x）-1|，n∈N^*，若函數(shù)y=f₃（x）-kx恰有4個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)k的值為2．

Answer 1

分析 由題意化簡(jiǎn)f₃（x）=|3f₂（x）-1|=$\left\{\begin{array}{l}{|6x-10|，x≥\frac{3}{2}}\\{|6x-8|，1≤x＜\frac{3}{2}}\\{|6x-4|，\frac{1}{2}≤x＜1}\\{|6x-2|，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；從而作函數(shù)y=f₃（x）與函數(shù)y=kx的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．

解答 解：∵f₁（x）=|x-1|，
∴f₂（x）=|2f₁（x）-1|
=$\left\{\begin{array}{l}{|2x-3|，x≥1}\\{|1-2x|，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f₃（x）=|3f₂（x）-1|
=$\left\{\begin{array}{l}{|6x-10|，x≥\frac{3}{2}}\\{|6x-8|，1≤x＜\frac{3}{2}}\\{|6x-4|，\frac{1}{2}≤x＜1}\\{|6x-2|，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
作函數(shù)y=f₃（x）與函數(shù)y=kx的圖象如下，

結(jié)合圖象可得，
當(dāng)函數(shù)y=f₃（x）-kx恰有4個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，
y=kx過(guò)點(diǎn)（1，2）；
故k=2；
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的圖象應(yīng)用及絕對(duì)值函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，屬于中檔題．