Question

10．如圖所示的多面體 ABC-EFGH中，AB∥EG，AC∥EH，且△ABC與△EGH相似，AE⊥平面EFGH，EF=FG=$\sqrt{2}，GH=1，EH=\sqrt{5}，∠EGH={90°}$，且 AC=$\frac{1}{2}$EH，AE=EG
（1）求證，BF⊥EG；
（2）求二面角F-BG-H的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取EG的中點(diǎn)O，連結(jié)OF、OB，通過(guò)線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得結(jié)論；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)F、OG、OB所在直線(xiàn)的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所求值即為平面GBF的一個(gè)法向量與平面GBH的一個(gè)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值的相反數(shù)，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵AB∥EG，且△ABC∽△EGH，AC=$\frac{1}{2}$EH，
∴AB=$\frac{1}{2}$EG，
取EG的中點(diǎn)O，連結(jié)OF、OB，∴OB∥AE，
又∵AE⊥平面EFGH，∴OB⊥平面EFGH，
又∵EG?平面EFGH，∴OB⊥EG，
又∵EF=FG=$\sqrt{2}$，∴OF⊥EG，
∵OF∩OB=O，∴EG⊥平面OBF，
∵BF?平面OBF，∴BF⊥EG；
（2）解：由（1）知OF、OG、OB兩兩垂直，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)F、OG、OB所在直線(xiàn)的方向分別
為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
∵GH=1，EH=$\sqrt{5}$，∠EGH=90°，
∴EG=$\sqrt{E{H}^{2}-1}$=2，
∵EF=FG=$\sqrt{2}$，∴OF=1，
∵AE=EG，∴OB=2，
∴F（1，0，0），G（0，1，0），B（0，0，2），H（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{GF}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{GB}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{GH}$=（-1，0，0），
設(shè)平面GBF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-{y}_{1}=0}\\{-{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令z₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
設(shè)平面GBH的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），
同理可得$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4+1}{\sqrt{4+4+1}•\sqrt{4+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
由圖可知，二面角F-BG-H為鈍角，
∴其余弦值為$-\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間線(xiàn)面位置關(guān)系的判斷及求二面角，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力及推理論證能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．