Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時f（x）=log_a（

ax+1

m

），（a＞0，a≠1）．
（1）求實數(shù)m的值；并求函數(shù)y=f（x）在定義域R上的解析式；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的結(jié)論f（0）=0求出m的值，再由條件和奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)y=f（x）在定義域R上的解析式；
（2）利用定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論證明，對底數(shù)a分類討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出真數(shù)的大小、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性定號．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f(0)=loga

2

m

=0，∴m=2                       
當(dāng)x∈（-∞，0）時，則-x∈（0，+∞），
∴f(x)=-f(-x)=-loga

a-x+1

2

                    
即f(x)=

loga ax+1 2 ，x∈[0，+∞) -loga a-x+1 2 ，x∈(-∞，0)

             
（2）設(shè)x₁、x₂是區(qū)間[0，+∞）上任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=loga

ax1+1

2

-loga

ax2+1

2

，
當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=a^x是增函數(shù)，∴

ax1+1

2

＜

ax2+1

2

，
由y

=log

x a

也是增函數(shù)得，loga

ax1+1

2

＜loga

ax2+1

2

，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=a^x是減函數(shù)，∴

ax1+1

2

＞

ax2+1

2

，
由y

=log

x a

也是減函數(shù)得，∴loga

ax1+1

2

＜loga

ax2+1

2

，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
綜上，都有f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，需要熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論證明函數(shù)單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，注意判斷對數(shù)的大小轉(zhuǎn)化為判斷真數(shù)的大小，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想．