Question

【題目】已知{an}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為An ， 第n項之后各項an+1 ， an+2…的最小值記為Bn ， dn=An﹣Bn ．
（1）若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數列（即對任意n∈N* ， an+4=an），寫出d1 ， d2 ， d3 ， d4的值；
（2）設d是非負整數，證明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數列；
（3）證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），則{an}的項只能是1或者2，且有無窮多項為1．

Answer 1

【答案】
（1）解：若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1，

d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3．

（2）證明：

充分性：設d是非負整數，若{an}是公差為d的等差數列，則an=a1+（n﹣1）d，

∴An=an=a1+（n﹣1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．

必要性：若 dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假設ak是第一個使ak﹣ak﹣1＜0的項，

則dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak＞0，這與dn=﹣d≤0相矛盾，故{an}是一個不減的數列．

∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d，即 an+1﹣an=d，故{an}是公差為d的等差數列．

（3）證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），首先，{an}的項不能等于零，否則d1=2﹣0=2，矛盾．

而且還能得到{an}的項不能超過2，用反證法證明如下：

假設{an}的項中，有超過2的，設am是第一個大于2的項，由于{an}的項中一定有1，否則與d1=1矛盾．

當n≥m時，an≥2，否則與dm=1矛盾．

因此，存在最大的i在2到m﹣1之間，使ai=1，此時，di=Ai﹣Bi=2﹣Bi≤2﹣2=0，矛盾．

綜上，{an}的項不能超過2，故{an}的項只能是1或者2．

下面用反證法證明{an}的項中，有無窮多項為1．

若ak是最后一個1，則ak是后邊的各項的最小值都等于2，故dk=Ak﹣Bk=2﹣2=0，矛盾，

故{an}的項中，有無窮多項為1．

綜上可得，{an}的項只能是1或者2，且有無窮多項為1．

【解析】（1）根據條件以及dn=An﹣Bn的定義，直接求得d1 ， d2 ， d3 ， d4的值．（2）設d是非負整數，若{an}是公差為d的等差數列，則an=a1+（n﹣1）d，從而證得dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．若dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．可得{an}是一個不減的數列，求得dn=An﹣Bn=﹣d，即 an+1﹣an=d，即{an}是公差為d的等差數列，命題得證．（3）若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），則{an}的項不能等于零，再用反證法得到{an}的項不能超過2，
從而證得命題．
【考點精析】關于本題考查的等差關系的確定和等比關系的確定，需要了解如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷才能得出正確答案．