Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2-1

的定義域為[-

1

2

，

1

2

]，（a≠0）
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用定義f（-x）=-f（x），可證明函數(shù)是奇函數(shù)
（2）設(shè)-

1

2

≤x₁＜x₂≤

1

2

，利用單調(diào)性的定義證明，函數(shù)是增函數(shù)；
（3）利用第（2）問的結(jié)論：f（x）是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的最值在端點處取得．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

-ax

x2-1

=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)-

1

2

≤x₁＜x₂≤

1

2

，
f（x₁）-f（x₂）=

ax1

(x2)2-1

-

ax2

(x2)2-1

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

[(x1)2-1][(x2)2-1]

，
若a＞0，則由于(x1)2-1＜0，(x2)2-1＜0，x₂-x₁＞0，x₁x₂+1＞0．
∴

a(x2-x1)(x1x2+1)

[(x1)2-1][(x2)2-1]

＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）即f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)
若a＜0，同理可得，f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)．
（3）當(dāng)a＞0時，由（2）知f（x）的最大值為f（-

1

2

）=

2

3

a．
當(dāng)a＜0時，由（2）知f（x）的最大值為f（

1

2

）=-

2

3

a．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．