Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，對任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項(xiàng)．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（不要求計(jì)算過程），令，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項(xiàng)．
∴2a_n+2=a_n+1+a_n，
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=（a_n+1+a_n）-a_n+1=-b_n，
∵a₁=1，a₂=2，
∴b₁=a₂-a₁=1
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為b_n=；
（2）由（1）知，a_n+1-a_n=
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+…+=
∴=
∴S_n=++…+①
∴S_n=++…+②
①-②可得S_n=1+++…+-=
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=．
分析：（1）根據(jù)a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項(xiàng)，可得2a_n+2=a_n+1+a_n，由b_n=a_n+1-a_n，可得b_n+1=a_n+2-a_n+1=-b_n，從而可得數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列，可求通項(xiàng)公式；
（2）利用累加法可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得=，利用錯位相減法可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明與通項(xiàng)，考查錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．