Question

2．已知定點(diǎn)A（-1，0），B是圓C：（x-1）²+y²=8（C為圓心）上的動(dòng)點(diǎn)，AB的垂直平分線與BC交于點(diǎn)E．
（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡Γ方程；
（2）設(shè)M、N是Γ上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且AM∥CN，若|AM|-|CN|=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，求直線AM的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義判斷點(diǎn)E的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程；
（2）設(shè)AM與CN的方程分別為x+1=my，x-1=my，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AM|、|CN|，根據(jù)已知條件|AM|-|CN|=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$求得m值，則直線AM的方程可求．

解答 解：（1）由題意得，圓心C（1，0），半徑等于2$\sqrt{2}$，|EA|=|EB|
∴|EC|+|EA|=|EC|+|EB|=|CB|=2$\sqrt{2}$＞|AC|，
故點(diǎn)E的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，
∵2a=2$\sqrt{2}$，c=1，
∴$a=\sqrt{2}$，c=1，則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2））∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，A（-1，0），C（1，0），
又∵直線AM∥CN，
∴設(shè)AM與CN的方程分別為x+1=my，x-1=my
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{{x}_{1}+1=m{y}_{1}}\end{array}\right.$，得（m²+2）${{y}_{1}}^{2}$-2my₁-1=0．
∴${y}_{1}=\frac{m+\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，
∴|AM|=$\sqrt{{m}^{2}+1}•|0-{y}_{1}|$=$\frac{\sqrt{2}（{m}^{2}+1）+m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$，①
同理|CN|=$\frac{\sqrt{2}（{m}^{2}+1）-m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$，②
∵|AM|-|CN|=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴由①②得|AM|-|CN|=$\frac{2m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，解得m²=$\frac{39}{119}$．
由題意可得m＞0，∴m=$\frac{39\sqrt{119}}{119}$．
∴直線AM的方程為x-$\frac{39\sqrt{119}}{119}y+1=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，是中檔題．