Question

10．甲、乙、丙三名高二學生計劃利用今年“五一”三天小長假在附近的五個景點（五個景點分別是：荊州古城、三峽大壩、古隆中、明顯陵、西游記公園）每人彼此獨立地選三個景點游玩．其中甲同學必選明顯陵，不選西游記公園，另從其余中隨機任選兩個；乙、丙兩名同學從五個景點中隨機任選三個．
（1）求甲同學選中三峽大壩景點且乙同學未選中三峽大壩景點的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙選中三峽大壩景點的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A為“甲同學選中三峽大壩景點”、事件B為“乙同學選中三峽大壩景點”，分別求出事件A和B的概率，由事件A與事件B相互獨立，能求出甲同學選中三峽大壩景點且乙同學未選中三峽大壩景點的概率．
（2）設(shè)事件C為“丙同學選中三峽大壩景點”，求出事件C的概率，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）設(shè)事件A為“甲同學選中三峽大壩景點”、事件B為“乙同學選中三峽大壩景點”，
則$p（A）=\frac{C_2^1}{C_3^2}=\frac{2}{3}$，$p（B）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，…（3分）
∵事件A與事件B相互獨立，
∴甲同學選中三峽大壩景點且乙同學未選中三峽大壩景點的概率為：
$p（A\bar B）=P（A）P（\bar B）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$．…．（5分）
（2）設(shè)事件C為“丙同學選中三峽大壩景點”，
則$p（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，
X的所有可能取值為0，1，2，3…．（7分）
$p（X=0）=P（\bar A\bar B\bar C）=\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{75}$，
$P（X=1）=P（A\bar B\bar C）+P（\bar AB\bar C）+P（\bar A\bar BC）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{20}{75}$，
$P（X=2）=P（AB\bar C）+P（A\bar BC）+P（\bar ABC）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{33}{75}$，
$p（X=3）=P（ABC）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{18}{75}$，…（9分）
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

∴$E（X）=0×\frac{4}{75}+1×\frac{20}{75}+2×\frac{33}{75}+3×\frac{18}{75}=\frac{140}{75}=\frac{28}{15}$…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分豐列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．