12．設(shè)a，b，c是正實數(shù)，且a2+b2+c2+abc=4，證明：a+b+c≤3．

分析 由a2+b2+c2+abc=4，則a，b，c不能都大于1，也不能都小于1；不妨設(shè)a≥1，b≥1，c≤1；運用基本不等式和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：由a2+b2+c2+abc=4，則a，b，c不能都大于1，也不能都小于1；
不妨設(shè)a≥1，b≥1，c≤1；則（a-1）（b-1）≥0，即ab≥a+b-1①
又4=a2+b2+c2+abc≥2ab+c2+abc，
則ab（2+c）≤4-c2，故ab≤2-c，②
由①，②知a+b-1≤ab≤2-c，
則a+b+c≤3．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法和基本不等式，以及不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上的一點M（m，1）到焦點F的距離為2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線l過拋物線C的焦點F與拋物線交于A，B兩點，且AA1，BB1都垂直于直線${l_1}：y=-\frac{p}{2}$，垂足為A1，B1，直線l1與y軸的交點為Q，求證：$\frac{{S_{△QAB}^2}}{{{S_{△QA{A_1}}}•{S_{QBB{\;}_1}}}}$為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．下列參數(shù)方程化成普通方程（其中t與φ是參數(shù)），并說明各表示什么曲線：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=3-2t}\\{y=-1-4t}\end{array}\right.$ 
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{2}（t+\frac{1}{t}）}\\{y=\frac{2}（t-\frac{1}{t}）}\end{array}\right.$
（4）$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ+2}\\{y=2sinφ-3}\end{array}\right.$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證：$\frac{a+b+c+d}{2}≥\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．給定橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），稱圓C1：x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”． 已知點A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=m上的點．
（1）若過點$P（0，\sqrt{10}）$的直線l與橢圓G有且只有一個公共點，求l被橢圓G的伴隨圓G1所截得的弦長；
（2）橢圓G上的B，C兩點滿足4k1•k2=-1（其中k1，k2是直線AB，AC的斜率），求證：B，C，O三點共線．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．設(shè)點P是圓x2+y2=4上的任一點，定點D的坐標為（8，0），若點M滿足$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MD}$，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}-2}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{{a}_{n}-n}{{2}^{n}+1}$=n+1
（Ⅰ） 求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ） 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求Sn；
（Ⅲ） 求證：對于n≥2，$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{2}{{a}_{3}}$+…+$\frac{2}{{a}_{n+1}}$＜1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知a＞b＞0，求證：$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＜1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知定點A（-1，0），B是圓C：（x-1）2+y2=8（C為圓心）上的動點，AB的垂直平分線與BC交于點E．
（1）求動點E的軌跡Γ方程；
（2）設(shè)M、N是Γ上位于x軸上方的兩點，且AM∥CN，若|AM|-|CN|=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，求直線AM的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案