Question

20．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），直線l交C于M、N兩點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程
（2）若△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），求出a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+n，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求出m，n，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）由題意，b=1，
∵$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1-e²=$\frac{1}{4}$，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}$=1；
（2）設(shè)l：x=my+n，代入橢圓方程可得（4m²+1）y²+8mny+4n²-4=0，
△=16（4m²-n²+1）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{8mn}{4{m}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{4{n}^{2}-4}{4{m}^{2}+1}$，
∵AM⊥AN，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
∴（m²+1）y₁y₂+m（n-1）（y₁+y₂）+（n-1）²=0，
∴（m²+1）•$\frac{4{n}^{2}-4}{4{m}^{2}+1}$+m（n-1）（-$\frac{8mn}{4{m}^{2}+1}$）+（n-1）²=0
∴n=-$\frac{3}{5}$或1（舍去）．
MN的中點(diǎn)（$\frac{n}{4{m}^{2}+1}$，$\frac{4mn}{4{m}^{2}+1}$）
∵AM=AN，
∴$\frac{\frac{4mn}{4{m}^{2}+1}}{1-\frac{n}{4{m}^{2}+1}}$=-m，
∵n=-$\frac{3}{5}$，
∴m=0或m²=$\frac{1}{5}$，
此時(shí)△＞0，
從而直線l的方程為x=-$\frac{3}{5}$或x=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$y-$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．