Question

9．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{6}}{6}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（1）求直線l與曲線C的普通方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t可得普通方程．由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{6}}{6}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用sin²θ+cos²θ=1可得普通方程．
（2）點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P$（\frac{\sqrt{6}}{6}cosθ，\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ）$，點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|cos（θ+\frac{π}{4}）-1|}{2}$=$\frac{1-cos（\frac{π}{4}+θ）}{2}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t可得$\sqrt{3}x$-y-1=0．
由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{6}}{6}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用sin²θ+cos²θ=1可得6x²+2y²=1．
（2）∵點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P$（\frac{\sqrt{6}}{6}cosθ，\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ）$，
點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{6}cosθ-\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ-1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|cos（θ+\frac{π}{4}）-1|}{2}$=$\frac{1-cos（\frac{π}{4}+θ）}{2}$≤1，
當(dāng)$cos（\frac{π}{4}+θ）$=-1時(shí)，即θ$\frac{3}{4}π+2kπ$（k∈Z），d_max=1．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)$（-\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．