Question

2．已知關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集為R．
（1）求m的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a²+3b²+4c²的最小值及此時(shí)a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值不等式，結(jié)合關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集為R，求出m的范圍，即可得出結(jié)論；
（2）利用柯西不等式，可得2a²+3b²+4c²的最小值及此時(shí)a，b，c的值．

解答 解：（1）因?yàn)閨x+3|+|x+m|≥|（x+3）-（x+m）|=|m-3|．
當(dāng)-3≤x≤-m或-m≤x≤-3時(shí)取等號(hào)，
令|m-3|≥2m所以m-3≥2m或m-3≤-2m．
解得m≤-3或m≤1
∴m的最大值為1．
（2）∵a+b+c=1．
由柯西不等式，$（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}）（{2{a^2}+3{b^2}+4{c^2}}）$≥（a+b+c）²=1，
∴$2{a^2}+3{b^2}+4{c^2}≥\frac{12}{13}$，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=4c，且a+b+c=1時(shí)成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)$a=\frac{6}{13}$，$b=\frac{4}{13}$，$c=\frac{3}{13}$時(shí)，2a²+3b²+4c²的最小值為$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出等式a+b+c=1，求式子2a²+3b²+4c²的最小值．著重考查了運(yùn)用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號(hào)成立的條件等知識(shí)，屬于中檔題．