Question

f（x）=log_0.5（-2x²+ax+3），若函數f（x）為偶函數，且x∈（m，n）的值域為（1，+∞），求a，m，n．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：由函數是偶函數，得到-2x²+ax+3對應方程的兩根互為相反數，由此求得a的值；再根據x∈（m，n）的值域為（1，+∞），先由y=log_0.5t的值域為（1，+∞）求出t的范圍，進一步求得x的范圍得答案．

解答： 解：∵f（x）=log_0.5（-2x²+ax+3）為偶函數，
∴其定義域關于原點中心對稱．
即-2x²+ax+3對應方程的兩根互為相反數．
由x1+x2=

a

2

=0，解得a=0．
∴f（x）=log_0.5（-2x²+ax+3）=log_0.5（-2x²+3），
令t=-2x²+3，則0＜t≤3．
由y=log_0.5t的值域為（1，+∞），得t∈(0，

1

2

)．
由-2x²+3=0，解得x=±

6

2

．
由-2x²+3=

1

2

，解得x=±

5

2

．
∴當m=-

6

2

時，n=-

5

2

；
當m=

5

2

時，n=

6

2

．

點評：本題考查了函數奇偶性的性質，考查了復合函數值域的求法，是中檔題．