Question

5．在數(shù)列{a_n}中，a₃=9，a₆=18，且滿足a_n+2=2a_n+1-a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{2}{{{a_n}+3{n^2}}}$，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的定義及其通項公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由a_n+2=2a_n+1-a_n，∴a_n+2+a_n=2a_n+1，∴{a_n}為等差數(shù)列，
設(shè){a_n}的首項為a₁，公差為d，則$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+2d=9}\\{{a_1}+5d=18}\end{array}}\right.$，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=3}\\{d=3}\end{array}}\right.$，
∴{a_n}的通項公式為a_n=3n．
（2）${C_n}=\frac{2}{3n（n+1）}=\frac{2}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
${T_n}=\frac{2}{3}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{3（n+1）}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．