Question

12．已知某輪船速度為每小時(shí)10千米，燃料費(fèi)為每小時(shí)30元，其余費(fèi)用（不隨速度變化）為每小時(shí)480元，設(shè)輪船的燃料費(fèi)用與其速度的立方成正比，問輪船航行的速度為每小時(shí)多少千米時(shí)，每千米航行費(fèi)用總和為最�。�

Answer 1

分析 可設(shè)輪船的速度為每小時(shí)x千米，燃料費(fèi)為每小時(shí)t元，并且每千米航行費(fèi)用總和為y元，根據(jù)條件可以得到$t=\frac{3}{100}{x}^{3}$，進(jìn)一步得出$y=\frac{3}{100}{x}^{2}+\frac{480}{x}$，求導(dǎo)數(shù)便可得到$y′=\frac{\frac{3}{50}（{x}^{3}-8000）}{{x}^{2}}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)便可判斷出：當(dāng)$x=40\sqrt{5}$時(shí)，y取到最小值，即得出輪船航行速度為每小時(shí)$40\sqrt{5}$千米時(shí)，每千米航行費(fèi)用總和為最�。�

解答 解：設(shè)輪船的速度為每小時(shí)x千米，燃料費(fèi)為每小時(shí)t元，每千米航行費(fèi)用總和為y元，由輪船的燃料費(fèi)用與其速度的立方成正比得：
t=kx³；
∴30=1000k；
∴$k=\frac{3}{100}$；
∴$t=\frac{3}{100}{x}^{3}$；
∴$y=\frac{3}{100}{x}^{2}+\frac{480}{x}$，$y′=\frac{3}{50}x-\frac{480}{{x}^{2}}=\frac{\frac{3}{50}（{x}^{3}-8000）}{{x}^{2}}$；
$x∈（0，40\sqrt{5}）$時(shí)，y′＜0，x$∈（40\sqrt{5}，+∞）$時(shí)，y′＞0；
∴$x=40\sqrt{5}$時(shí)，y取最小值；
即輪船航行的速度為每小時(shí)$40\sqrt{5}$千米時(shí)，每千米航行費(fèi)用總和為最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系式的方法，正比例函數(shù)的一般形式，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)的最值的方法和過程，清楚y=x³的單調(diào)性．