Question

20．已知f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），g（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）
（1）求f（x）在[-$\frac{π}{2}$，π]上的值域；
（2）若g（$\frac{π}{3}$）=g（$\frac{5}{6}$π），且g（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5}{6}$π）內(nèi)有最小值，無(wú)最大值，求ω；
（3）ω�。�2）中的值時(shí)，若對(duì)任意x₁∈[0，α]，都存在x₂∈[-$\frac{π}{2}$，π]，使得f（x₂）=g（x₁），求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x∈[-$\frac{π}{2}$，π]和不等式的性質(zhì)可得$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{3π}{4}$]，再由余弦函數(shù)可得值域；
（2）由題意結(jié)合函數(shù)圖象可得ω范圍，再由對(duì)稱性可得$\frac{7π}{12}$為函數(shù)過(guò)最低點(diǎn)的一條對(duì)稱軸，可得ω方程，綜合可得ω值；
（3）由（1）可得f（x₂）∈[-$\sqrt{2}$，2]，題目轉(zhuǎn)化為當(dāng)x₁∈[0，α]時(shí)，g（x₁）=2sin（2x₁+$\frac{π}{3}$）的值域是[-$\sqrt{2}$，2]的子集，由正弦函數(shù)的圖象可得$\frac{π}{3}$＜2α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{4}$，解不等式可得．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，$\frac{1}{2}$x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{3π}{4}$]，∴cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，2]，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，π]上的值域?yàn)椋篬-$\sqrt{2}$，2]；
（2）∵g（$\frac{π}{3}$）=g（$\frac{5}{6}$π），且g（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5}{6}$π）內(nèi)有最小值，無(wú)最大值，
∴$\frac{5}{6}$π-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{ω}$，解得ω＜4，又由對(duì)稱性可得$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{3}$+$\frac{5}{6}$π）=$\frac{7π}{12}$為函數(shù)過(guò)最低點(diǎn)的一條對(duì)稱軸，
∴ω•$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，解得ω=$\frac{24k}{7}$-$\frac{10}{7}$，k∈Z，
結(jié)合0＜ω＜4可得當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，ω=2符合題意；
（3）由（1）可得當(dāng)x₂∈[-$\frac{π}{2}$，π]，f（x₂）∈[-$\sqrt{2}$，2]，
由（2）知g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵對(duì)任意x₁∈[0，α]，都存在x₂∈[-$\frac{π}{2}$，π]，使得f（x₂）=g（x₁），
∴當(dāng)x₁∈[0，α]時(shí)，g（x₁）=2sin（2x₁+$\frac{π}{3}$）的值域是[-$\sqrt{2}$，2]的子集，
∴sin（2x₁+$\frac{π}{3}$）的值域是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]的子集，
∵x₁∈[0，α]，∴2x₁+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，2α+$\frac{π}{3}$]，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得$\frac{π}{3}$＜2α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{4}$，
解得0＜α≤$\frac{11π}{12}$，故α的取值范圍為（0，$\frac{11π}{12}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)對(duì)稱性和集合間的包含關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．