Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，設(shè)PF₁的中點(diǎn)在y軸上，且cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{4}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 由PF₁的中點(diǎn)在y軸上，可得P的橫坐標(biāo)為c，即有PF₂⊥x軸，令x=c，可得|PF₂|，再由雙曲線的定義，可得|PF₁|，在直角三角形PF₁F₂中，運(yùn)用余弦函數(shù)的定義，化簡可得2a²=3b²，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由PF₁的中點(diǎn)在y軸上，可得P的橫坐標(biāo)為c，
即有PF₂⊥x軸，令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即|PF₁|=|PF₂|+2a=$\frac{^{2}}{a}$+2a，
在直角三角形PF₁F₂中，可得
cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{\frac{^{2}}{a}+2a}$=$\frac{1}{4}$，
即為2a²+b²=4b²，即3b²=3c²-3a²=2a²，
即有c²=$\frac{5}{3}$a²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和雙曲線的定義、以及余弦函數(shù)的定義，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．