Question

17．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{|x-3|-1，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，則函數(shù)F（x）=f（x）-a，（0＜a＜1）的所有零點之和為（　�。�

• A． 1-2^a
• B． 2^-a-1
• C． 1-2^-a
• D． 2^a-1

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f（x）的表達式，根據(jù)函數(shù)表達式作出函數(shù)的圖象，由圖象可知函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)的所有零點之和即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當x＜0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{2}（1-x），-1＜x＜0}\\{1-|x+3|，x≤-1}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）在R圖象如圖：
由圖象可知函數(shù)f（x）=a（0＜a＜1）有5個根，不妨設為x=a′，b，c，d，e．且a′＜b＜c＜d＜e，
則a′，b關于x=-3對稱，d，e關于x=3對稱，0＜c＜1，
∴a′+b=-6，d+e=6，
∵0＜c＜1，
∴由f（c）=a，得log₂（c+1）=a，
∴c=2^a-1，
∴零點之和為a′+b+c+d+e=-6+6+2^a-1=2^a-1．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的關系應用及數(shù)形結(jié)合的思想應用，確畫好圖，把握圖象的對稱性是關鍵．