Question

12．已知函數f（x）=x²lnx-a（x²-1），a∈R，若當x≥1時，f（x）≥0恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，1]
• D． $（-∞，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 由已知x≥1時，f（x）_min＞0，f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，由此利用導數性質能求出a的取值范圍．

解答 解：由已知，即x≥1時，f（x）_min＞0，
f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，
當1-2a≥0，即a≤$\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）單調增，
∴f（x）_min=f（1）=0，即a≤$\frac{1}{2}$時滿足f（x）≥0恒成立；
當1-2a＜0，即a＞$\frac{1}{2}$時，由f′（x）=0，得x=${e}^{a-\frac{1}{2}}$＞1，
∴x∈（1，${e}^{a-\frac{1}{2}}$）時，f（x）單調減，即x∈（1，${e}^{a-\frac{1}{2}}$）時，
∴f（x）＜f（1）=0與題設矛盾，
即a＞$\frac{1}{2}$時，不能滿足f（x）≥0恒成立，
綜上，所求a的取值范圍是a≤$\frac{1}{2}$；
故選：D．

點評 本題考查函數的最小值的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數的性質的合理運用．