Question

7．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1共漸近線，且過點(diǎn)（-3，4$\sqrt{3}$）
（2）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，2）

Answer 1

分析 （1）可設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=λ（λ≠0），代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程即可得到所求；
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，由題意可得a²+b²=16，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程即可得到所求．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1共漸近線，
可設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=λ（λ≠0），
代入點(diǎn)（-3，4$\sqrt{3}$），可得λ=1-$\frac{48}{16}$=-2，
即有雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{32}$-$\frac{{x}^{2}}{18}$=1；
（2）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1的焦點(diǎn)為（±4，0），
設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
則a²+b²=16，
又$\frac{12}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，
解得a=b=2$\sqrt{2}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查方程的求法，注意漸近線方程的運(yùn)用，以及共漸近線方程的雙曲線方程的設(shè)法，屬于中檔題．