Question

14．設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（a，0），點B的坐標(biāo)為（0，b），點M在線段AB上．滿足|BM|=2|AM|，直線0M的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為（-a，0），N為線段BC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標(biāo)為$\frac{13}{2}$，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意M（$\frac{2a}{3}，\frac{3}$），從而得a=$\sqrt{5}b$，由此能求出橢圓的離心率．
（Ⅱ）由a=$\sqrt{5}$b，得直線AB的方程為$\frac{x}{\sqrt{5}b}$+$\frac{y}$=1，由B（0，b），C（-$\sqrt{5}b$，0），得N（-$\frac{\sqrt{5}b}{2}$，$\frac{2}$），設(shè)點N關(guān)于直線AB的對稱點S的坐標(biāo)為（x₁，$\frac{13}{2}$），由此能求出橢圓E的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（a，0），
點B的坐標(biāo)為（0，b），點M在線段AB上．滿足|BM|=2|AM|，直線0M的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴M（$\frac{2a}{3}，\frac{3}$），
整理，得a=$\sqrt{5}b$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2b，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{5}b}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=$\sqrt{5}$b，則直線AB的方程為$\frac{x}{\sqrt{5}b}$+$\frac{y}$=1，
由B（0，b），C（-$\sqrt{5}b$，0），得N（-$\frac{\sqrt{5}b}{2}$，$\frac{2}$），
設(shè)點N關(guān)于直線AB的對稱點S的坐標(biāo)為（x₁，$\frac{13}{2}$），
由線段NS的中點T的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}}{2}-\frac{\sqrt{5}b}{4}$，$\frac{4}+\frac{13}{4}$），
∵點T在直線AB上，且k_NS•k_AB=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{{x}_{1}}{2}-\frac{\sqrt{5}b}{4}}{\sqrt{5}b}+\frac{\frac{4}+\frac{13}{4}}=1}\\{\frac{\frac{13}{2}-\frac{2}}{{x}_{1}+\frac{\sqrt{5}b}{2}}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
解得${x}_{1}=-\frac{\sqrt{5}}{2}，b=3$，
∴a=3$\sqrt{5}$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查橢圓的離心率、橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．