Question

【題目】已知函數(shù) ， ，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù) 在x 1處的切線方程；
（2）若存在 ，使得 成立，其中 為常數(shù)，
求證： ；
（3）若對任意的 ，不等式 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）因為 ，所以 ，故 ．

所以函數(shù) 在x 1處的切線方程為 ，

即 ．

（2）

由已知等式 得 ．

記 ，則 ．

假設(shè) ．

①若 ，則 ，所以 在 上為單調(diào)增函數(shù)．

又 ，所以 ，與 矛盾．

②若 ，記 ，則 ．

令 ，解得 ．

當(dāng) 時， ， 在 上為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng) 時， ， 在 上為單調(diào)減函數(shù)．

所以 ，所以 ，

所以 在 上為單調(diào)增函數(shù)．

又 ，所以 ，與 矛盾．

綜合①②，假設(shè)不成立，所以 ．

（3）

由 得 ．

記 ， ，

則 ．

①當(dāng) 時，因為 ， ，所以 ，

所以 在 上為單調(diào)增函數(shù)，所以 ，

故原不等式恒成立．

法一：

②當(dāng) 時，由（2）知 ， ，

當(dāng) 時， ， 為單調(diào)減函數(shù)，

所以 ，不合題意．

法二：

②當(dāng) 時，一方面 ．

另一方面， ， ．

所以 ，使 ，又 在 上為單調(diào)減函數(shù)，

所以當(dāng) 時， ，故 在 上為單調(diào)減函數(shù)，

所以 ，不合題意．

綜上， ．

【解析】（1.）利用積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)法則求出導(dǎo)函數(shù)再將x=1代入求出斜率求出切線方程。
（2.）假設(shè) ，將 整理為 ，求導(dǎo)又單調(diào)性判斷是否在不同點存在相同的y值
（3.）對 求導(dǎo)然后分 、 兩種情況討論。
【考點精析】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識點，需要掌握復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”才能正確解答此題．