Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=1，M為PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面ACM；
（2）設(shè)直線AM與平面ABCD所成的角為α，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）要證明PB∥平面ACM，利用線面平行的判定定理，證明MO∥PB即可；
（2）取DO的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，則MN∥PO，推導(dǎo)出∠MAN=α為所求的直線AM與平面ABCD所成的角，從而求出sinα

解答 解：（1）證明：連接BD，MO，
由題O為BD中點(diǎn)，又M為PD中點(diǎn)
∴MO∥PB，
又∵PB?面MAC，MO?面MAC，
∴PB∥面MAC
（2）取DO的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，則MN∥PO，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN=α為所求的直線AM與平面ABCD所成的角．
MN=$\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2}$．
在Rt△ADO中，∵DO=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，AN=$\frac{1}{2}DO=\frac{\sqrt{5}}{4}$．
在Rt△AMN中，AM=$\sqrt{M{N}^{2}+A{N}^{2}}=\frac{3}{4}$，
∴sinα=$\frac{MN}{AM}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．