Question

1．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，其中$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為-1，且（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=0
（1）試求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ及|$\overrightarrow$|；
（2）若向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，試求|$\overrightarrow{c}$|的值．

Answer 1

分析 （1）利用一個向量在另一個向量上的投影的定義求得cosθ的值，可得θ的值．
（2）由條件利用|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}^{2}}$，計算求得結果．

解答 解：（1）設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
則由題意可得|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=2•cosθ=-1，cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
∵（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4${\overrightarrow}^{2}$=4-4${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴|$\overrightarrow$|=1．
（2）若向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，
則|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{4\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{4+4•2•1•（-\frac{1}{2}）+4}$=2．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的定義，一個向量在另一個向量上的投影，求向量的模的方法，屬于基礎題．