Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|-3，g（x）=|x+3|
（1）解不等式f（x）＜g（x）；
（2）若不等式f（x）＜g（x）+a對(duì)任意x∈R恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＜g（x），即|x-2|-|x+3|＜3，分類討論，求得不等式的解集．
（2）不等式等價(jià)于|x-2|-|x+3|＜a+3，利用絕對(duì)值三角不等式求得|x-2|-|x+3|的最大值為5，可得a+3＞5，從而求得a的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）＜g（x）可化為|x-2|-|x+3|＜3，
當(dāng)x≤-3時(shí)，不等式可化為：2-x+（x+3）＜3，無(wú)解；
當(dāng)-3＜x＜2時(shí)，不等式可化為：2-x-（x+3）＜3，解得-2＜x＜2；
當(dāng)x≥2時(shí)，不等式可化為：x-2-（x+3）＜3，解得x≥2；
綜上，不等式的解集為{x|x＞-2}．
（2）不等式等價(jià)于|x-2|-|x+3|＜a+3，
由于|x-2|-|x+3|≤|（x-2）-（x+3）|=5，當(dāng)且僅當(dāng)x≤-3時(shí)等號(hào)成立．
故a+3＞5，即a＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．