Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），點(diǎn)P是曲線C₁與x軸正半軸的交點(diǎn)．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系軸，曲線C₂：ρcosθ+ρsinθ+3=0．
（1）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程和過點(diǎn)P的曲線C₁的切線極坐標(biāo)方程；
（2）在曲線C₁上求一點(diǎn)Q（a，b），它到曲線C₂的距離最長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）消去參數(shù)θ可得普通方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得極坐標(biāo)方程．對(duì)于普通方程，令y=0，可得曲線C₁與x軸正半軸的交點(diǎn)P（2，0），則過P點(diǎn)的圓的切線方程為x=2，即可化為極坐標(biāo)方程．
（2）曲線C₂：ρcosθ+ρsinθ+3=0，化為直角坐標(biāo)方程：x+y+3=0．經(jīng)過圓心與直線x+y+3=0垂直的直線為：y=x-1．與圓的方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）消去參數(shù)θ可得普通方程：（x-1）²+y²=1．
展開化為x²+y²-2x=0，可得極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲線C₁與x軸正半軸的交點(diǎn)P（2，0），
則過P點(diǎn)的圓的切線方程為x=2，可得極坐標(biāo)方程：ρcosθ=2．
（2）曲線C₂：ρcosθ+ρsinθ+3=0，化為直角坐標(biāo)方程：x+y+3=0．
圓心C₁（1，0）到直線的距離d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
經(jīng)過圓心與直線x+y+3=0垂直的直線為：y=x-1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，化為2x²-4x+1=0，解得x=$\frac{2±\sqrt{2}}{2}$．
取x=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，解得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴Q點(diǎn)取$（\frac{2+\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$時(shí)，它到曲線C₂的距離最長(zhǎng)，為2$\sqrt{2}$+1．．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．