Question

4．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若bsinB-asinA=$\frac{1}{2}$asinC，且△ABC的面積為a²sinB，則cosB=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知的式子，結合條件和三角形的面積公式列出方程化簡后，得到三邊a、b、c的關系，由余弦定理求出cosB的值．

解答 解：∵bsinB-asinA=$\frac{1}{2}$asinC，
∴由正弦定理得，b²-a²=$\frac{1}{2}$ac，①
∵△ABC的面積為a²sinB，
∴$\frac{1}{2}acsinB={a}^{2}sinB$，則c=2a，
代入①得，b²=2a²，
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$
=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，以及三角形的面積公式的應用，考查轉化思想，化簡、變形能力．