Question

20．某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰，第一個(gè)月罰3萬元，以后每月增加2萬元．如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據(jù)測(cè)算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)生產(chǎn)凈收入g（n）是生產(chǎn)時(shí)間n個(gè)月的二次函數(shù)g（n）=n²+kn（k是常數(shù)），且前3個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入可達(dá)309萬，從第6個(gè)月開始，每個(gè)月的生產(chǎn)凈收入都與第5個(gè)月相同．同時(shí)，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎(jiǎng)勵(lì)100萬元．
（1）求前8個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入g（8）的值；
（2）問經(jīng)過多少個(gè)月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)g（3）計(jì)算k，再計(jì)算g（5）和g（5）-g（4），于是g（8）=g（5）+3[g（5）-g（4）]；
（2）求出投資前后前n個(gè)月的總收入，列不等式解出n的范圍即可．

解答 解：（1）據(jù)題意g（3）=3²+3k=309，解得k=100，
∴g（n）=n²+100n，（n≤5）
第5個(gè)月的凈收入為g（5）-g（4）=109萬元，
所以，g（8）=g（5）+3×109=852萬元．
（2）g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+100n，n≤5}\\{g（5）+109（n-5），n＞5}\end{array}\right.$即$g（n）=\left\{\begin{array}{l}{n^2}+100n，（n≤5）\\ 109n-20，（n＞5）\end{array}\right.$﹒
若不投資改造，則前n個(gè)月的總罰款3n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+2n，
令g（n）-500+100＞70n-（n²+2n），
得：g（n）+n²-68n-400＞0．
顯然當(dāng)n≤5時(shí)，上式不成立；
當(dāng)n＞5時(shí)，109n-20+n²-68n-400＞0，即n（n+41）＞420，
又n∈N，解得n≥9．
所以，經(jīng)過9個(gè)月投資開始見效．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)列求和，屬于中檔題．