Question

10．設(shè)f（x）=$\frac{{|{ax+1}|-|{2x-1}|}}{|x|}$．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若對任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為b≥f（x）_max=a+2，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，由f（x）＞1得，|2x+1|-|2x-1|＞|x|，
x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，2x+1-2x+1＞x，解得：x＜2；
0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，2x+1+2x-1＞x，解得：x＞0，
-$\frac{1}{2}$＜x＜0時(shí)，2x+1+2x-1＞-x，解得：x＞0（舍），
x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，-2x-1+2x-1＞-x，解得：x＞2（舍），
所以不等式f（x）≥1的解集為（0，2）；
（2）不等式f（x）≤b得：
b≥f（x）_max，$\frac{|ax+1|-|2x-1|}{|x|}≤\frac{|ax+2x|}{|x|}=|a+2|$，
∴b≥f（x）_max=a+2，
又因?yàn)閷θ我獾腶∈（0，1）恒成立，
所以b≥3．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)恒成立問題以及分類討論思想，是一道中檔題．