Question

9．四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)．
（1）求證：AF⊥EF；    
（2）求二面角A-PC-B的平面角．

Answer 1

分析 （1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，從而PA⊥BC，進(jìn)而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能證明AF⊥EF．
（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的平面角．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，
∴PA⊥平面ABCD，又BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，
∴AF⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵EF?平面PBC，∴AF⊥EF．
（2）解：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，P為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=1，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
設(shè)平面APC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=a+b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=60°，
∴二面角A-PC-B的平面角為60°．

點(diǎn)評 本題考查空間線面關(guān)系以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．