Question

【題目】如圖，圓與直線相切于點，與正半軸交于點，與直線在第一象限的交點為.點為圓上任一點，且滿足，以為坐標(biāo)的動點的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；

（2）若兩條直線和分別交曲線于點和，求四邊形面積的最大值，并求此時的的值．

（3）根據(jù)曲線的方程，研究曲線的對稱性，并證明曲線為橢圓．

Answer 1

【答案】（1），；（2）時，四邊形的面積最大值為；（3）見解析．

【解析】

（1）由圓半徑為圓心到切線距離得圓半徑，從而得圓方程，由表示出點坐標(biāo)代入圓方程可得曲線的方程．

（2）把方程代入曲線的方程求得的坐標(biāo)，得，同理可得，由得，應(yīng)用整體換元法結(jié)合基本不等式可求得最值（也可變形為，求最值）；

（3）由曲線的方程可得對稱性：關(guān)于直線對稱，關(guān)于原點對稱，這個方程除右邊是常數(shù)1外，左邊是二次式且為和的形式，與我們所學(xué)橢圓的方程類似，因此可假設(shè)其為橢圓，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)求頂點坐標(biāo)和焦點坐標(biāo)，根據(jù)橢圓定義證明．

解：（1）由題意圓的半徑，

故圓的方程為.

由得，，將代入

得為曲線的方程.

（2）由

得,，

所以，同理.

由題意知 ，所以四邊形的面積，.

∵ ，∴ .

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時.

∴ 當(dāng)時，四邊形的面積最大值為.

（3） 曲線的方程為，它關(guān)于直線、和原點對稱，

下面證明：

設(shè)曲線上任一點的坐標(biāo)為，則，點關(guān)于直線的對稱點為，顯然，所以點在曲線上，故曲線關(guān)于直線對稱，

同理曲線關(guān)于直線和原點對稱.

證明：求得和直線的交點坐標(biāo)為，

和直線的交點坐標(biāo)為，

，，，.

在上取點 .

設(shè)為曲線上任一點，則

（因為）

.

即曲線上任一點到兩定點的距離之和為定值.

若點到兩定點的距離之和為定值，可以求得點的軌跡方程為（過程略）.

故曲線是橢圓