【題目】已知四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，點，分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若與平面所成角的余弦值等于，求的長.

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，可得，，進而，，所以四邊形是平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可求證.

（2）取的中點，根據(jù)勾股定理和線面垂直的判定定理可得平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求出線面角.

（1）取的中點，連接，，

∵，分別為，的中點，

∴，，

∵為矩形，∴，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，平面，

又∵平面，∴平面.

（2）取的中點，

∵，∴，，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

建立如圖坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，

∴，，

∴平面的法向量，，

若與平面所成角為，

∴，∴.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓：（）的一個焦點與拋物線：的焦點重合，且離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過焦點的直線與拋物線交于，兩點，與橢圓交于，兩點，滿足，求直線的方程.

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【題目】設(shè)中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C過點，F為C的右焦點，⊙F的方程為

（1）求C的方程；

（2）若直線與⊙O相切，與⊙F交于M、N兩點，與C交于P、Q兩點，其中M、P在第一象限，記⊙O的面積為，求取最大值時，直線l的方程.

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【題目】兩城市和相距，現(xiàn)計劃在兩城市外以為直徑的半圓上選擇一點建造垃圾處理場，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城和城的總影響度為城和城的影響度之和，記點到城的距離為，建在處的垃圾處理場對城和城的總影響度為，統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理場對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4，對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為，當(dāng)垃圾處理場建在的中點時，對城和城的總影響度為0.065；

（1）將表示成的函數(shù)；

（2）判斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理場對城和城的總影響度最小?若存在，求出該點到城的距離；若不存在，說明理由；

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【題目】如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，且

（1）證明：平面平面；

（2）求棱與所成的角的大��；

（3）若點為的中點，并求出二面角的平面角的余弦值．

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【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)是的反函數(shù).當(dāng)時，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)的值；

（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍.

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【題目】如圖，圓與直線相切于點，與正半軸交于點，與直線在第一象限的交點為.點為圓上任一點，且滿足，以為坐標(biāo)的動點的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；

（2）若兩條直線和分別交曲線于點和，求四邊形面積的最大值，并求此時的的值．

（3）根據(jù)曲線的方程，研究曲線的對稱性，并證明曲線為橢圓．

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【題目】在三棱錐中，BO、AO、CO所在直線兩兩垂直，且AO=CO，∠BAO=60°，E是AC的中點，三棱錐的體積為

(1)求三棱錐的高；

(2)在線段AB上取一點D，當(dāng)D在什么位置時，和的夾角大小為

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【題目】已知，，是橢圓：上的三點，其中的坐標(biāo)為，過橢圓的中心，且橢圓長軸的一個端點與短軸的兩個端點構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率為1時，求面積；

（3）設(shè)直線：與橢圓交于兩點，，且線段的中垂線過橢圓與軸負半軸的交點，求實數(shù)的值.

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